Entry for June 18, 2006
Imi cer scuze celor care nu au nici o legatura cu asta, dar maine e ziua cea mare, maine e ziua in care dau licenta si asa cum am promis unei prietene dragi, voi scrie aici un principiu…
Principiul graficului inchis
Fie (X,norma), (Y,norma) doua spatii Banach. Fie T un operator liniar definit pe X cu valori in Y. Atunci T este marginit daca si numai daca T este inchis.
Demonstratie.
(T marginit) daca si numai daca (T e este continuu) daca si numai daca oricare (F inclus in X inchis rezulta T(F) inclus in Y este inchisa)
Gt={(x,y) cu propietatea (x,y) apartine lui Dt x Y, y=Tx}=Dt x T(Df) inchis
Presupunem ca Gt este o submultime inchisa a spatiului normat X x Y.
din liniaritatea lui T rezulta ca Gt este subspatiu liniar al spatiului X x Y
Cum Gt este subspatiu liniar inchis al spatioului Banach X x Y rezulta ca este el insusi spatiu Banach cu norma indusa de norma din spatiul X x Y
Consideram aplicatiile liniare
P1:X x Y cu valori in X, P1(x,y)=x
P2:X x Y cu valori in Y, P2(x,y)=y
norma de (P1(x,y))=norma de (x) mai mic sau egal cu max (norma de (x), norma de (y))
norma de (P2(x,y))=norma de (y) mai mic sau egal cu max (norma de (x), norma de (y))
rezulta P1 si P2 marginite
restrictia aplicatiei P1 la Gt este un operator liniar continuu bijectiv definit pe spatiul Banach Gt cu valori in spatiul Banach Y
Din teorema aplicatiei inverse rezulta ca P1 la -1 definita pe Y cu valori in Gt este un operator liniar continuu
Cum T=P2 compus cu P1 la -1, rezulta T este marginit.
Astept eventualele corecturi